Преподобный Савва Московский был учеником преподобного Андроника — первого игумена монастыря на Яузе, основанного при святителе Алексии в честь Нерукотворного Образа Спасителя. Обитель эта появилась по обету: возвращаясь морем из Царьграда, святитель Алексий попал в сильную бурю и обещал построить храм в честь того праздника, в день которого корабль войдёт в пристань, — вошли они 16 августа. Настоятеля для новой обители святитель испросил у преподобного Сергия Радонежского, и тот отдал ему своего ученика Андроника. Место выбрали в четырёх верстах от Кремля, на речке Яузе; храм освятили в 1361 году.

Савва подвизался в этой обители и настолько преуспел в добродетелях, что его почитали не только простые люди, но и князья. Готовясь к кончине, преподобный Андроник вручил ему паству, и Савва стал вторым игуменом монастыря.

Он управлял обителью так же, как жил сам, — держал братию в благочестии и чистоте. Учеников у него было много, и это видно по их судьбе: одних поставили игуменами в другие монастыри, другие стали епископами. Прожив богоугодно много лет, преподобный Савва отошёл ко Господу около 1410 года.

После его кончины к гробу стали приходить с верой, и многие получали исцеление от душевных и телесных недугов. Источник приводит один такой случай: священноинок Ефрем, один из учеников святого, тяжело страдал от блудной страсти; помолившись у гроба преподобного, он вскоре получил облегчение.

Преемником Саввы стал его ученик преподобный Александр. Вместе с ним подвизался в обители преподобный Андрей Рублёв, ученик иконописца Даниила: вдвоём с Александром они возвели в монастыре каменный храм и украсили его росписью в память своих отцов. Так что имя Саввы стоит в одном ряду с именами тех, кем славен Андроников монастырь, — об этом писал ещё преподобный Иосиф Волоцкий.

Преподобных принято писать в монашеском облачении, со свитком или чётками в руке. Память преподобного Андроника и его учеников совершается в день кончины учителя, 26 июня, и в Соборе Радонежских святых — 19 июля.