Константин появился на свет 7 мая 1867 года в семье священника Иоанна Сухова; село Жемковка, где это случилось, относилось тогда к Сызранскому уезду Симбирской губернии. Летом 1887 года он окончил Симбирскую духовную семинарию, послужил псаломщиком, а осенью следующего года был рукоположен сначала во диакона, потом во священника. С 1890 года служил уже в Самарской епархии.

С 1896 года он священствовал в Царевщине. Приходская летопись сохранила о нём короткую и точную характеристику: его любили за простоту и весёлый нрав, за то, что с малым он был мал, а с большим — большой. В скорбные дни он умел утешить. Одновременно он заведовал церковноприходской школой и сам в ней преподавал — так было и на прежнем приходе.

Семье в Царевщине пришлось тяжело. Зимой 1896 года от дифтерита умер четырёхлетний сын Виталий, через два месяца — дочь Нина. Ради более сухого климата отец Константин попросился в заволжское село Узморье, но прихожане не отпустили: целая крестьянская депутация дошла до правящего архиерея, и весной 1900 года указом священника вернули обратно. Он принял это со смирением. Через четыре месяца после возвращения умерла и маленькая Вера. Позже родились Борис и Леонид; старшему предстояло погибнуть шестнадцатилетним, младшего расстреляли в 1937 году.

Осенью 1903 года семья переехала в Бугуруслан. Здесь отец Константин стал клириком, а затем настоятелем крупнейшего в уезде Спасо-Вознесенского собора и поселился рядом, на Соборной площади. Сразу после назначения он вошёл в земское собрание от духовенства, а к 1910 году был уже депутатом городской думы.

Земская работа стала второй его службой. Архивы сохранили цифры: при нём уездное земство вышло на первое место в губернии по росту расходов на медицину — расходы на народное здоровье, в том числе на детские болезни, выросли в сорок три раза. Человек, потерявший от эпидемий троих детей, объяснял с думской трибуны благополучным гласным, что происходит в деревне на самом деле. Вторым его делом были хлебохранилища: по ним уезд стал лучшим в губернии, и крестьянам это пригодилось позже, при продразвёрстке. Он заведовал школами при соборе и в окрестных деревнях, а в 1908 году открыл в городе ещё одну, где сам преподавал Закон Божий.

25 февраля 1918 года настоятель повёл крестный ход прямо к зданию Революционного совета — это был открытый и молчаливый протест против того, что творила новая власть. Осенью того же года, 22 октября, в Бугуруслан вошли красные части, и начались расстрелы; имя отца Константина оказалось в списках.

По семейному преданию, его взяли в алтаре во время литургии. Народ шёл следом и просил не трогать батюшку. Священника в полном облачении отвели на берег Кинеля — той самой дорогой, которой он каждое Крещение водил крестный ход к иордани, — и там расстреляли. Тело забрали верующие и похоронили тайно, боясь осквернения могилы; место её так и осталось неизвестным.

В июле 2001 года Священный Синод причислил иерея Константина Сухова к лику новомучеников и исповедников Российских. Его память совершается в день кончины, 22 октября, а также в Соборе Самарских святых — 12 августа.